Question

如圖1，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，CB＞CA，分別以線段AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F．
（1）說明AE=DB的理由．
（2）如果∠ACD=60°，求∠AFB的度數(shù)．
（3）將圖1中的△ACD繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度，到如圖2的位置，如果∠ACD=α，那么∠AFB與α有何數(shù)量關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）？試說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠ACD=∠BCE（已知），
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD（等式性質(zhì)），
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE與△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB（全等三角形對應(yīng)邊相等）；

（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB（全等三角形對應(yīng)角相等）．
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB（等式性質(zhì)），
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE（等量代換），
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE（等量代換），
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC（等式性質(zhì)）
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD（等式性質(zhì)），
∴∠AFB=180°-∠ACD（等量代換），
∵∠ACD=60°（已知），
∴∠AFB=120°（等式性質(zhì)）；

（3）解：∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系為：∠AFB=180°-α，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，
∴∠EFB=∠ECB，
∴∠AFB=180°-∠EFB，
∴∠AFB=180°-∠ECB，
因?yàn)椤螦CD=∠BCE，∠ACD=α（已知），
所以∠AFB=180°-α．
分析：（1）利用已知得出∠ACE=∠BCD，進(jìn)而利用SAS得出△ACE≌△DCB進(jìn)而得出答案；
（2）首先證明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根據(jù)∠AFB是△ADF的外角求出其度數(shù)；
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-α．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，本題還綜合了旋轉(zhuǎn)的知識點(diǎn)，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理．