Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)E作ME⊥AF交BC于點(diǎn)M，連接AM、BD交于點(diǎn)N，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④點(diǎn)N為△ABM的外心．其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】解：∵E為CD邊的中點(diǎn)，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正確；

當(dāng)AB=BC時(shí)，即四邊形ABCD為正方形時(shí)，設(shè)DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②錯(cuò)誤；

∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=ADCM，故③正確；

∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圓的直徑，∵BM＜AD，∴當(dāng)BM∥AD時(shí)， ＜1，∴N不是AM的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故④錯(cuò)誤．

綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，故選B．