Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l平行x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連結(jié)OB，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APQ=90°，PQ交x軸于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），求PA的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求PA：PC的值．
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OB上時(shí)，點(diǎn)D是直線(xiàn)OB與直線(xiàn)CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線(xiàn)CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1）．

∴PA的長(zhǎng)為2

（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．

∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，

∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°．

∵∠AOC=90°，

∴∠POC=45°．

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．

∴∠NPM=90°．

∵∠APC=90°．

∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．

在△ANP和△CMP中，

，

∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC．

∴PA：PC的值為1：1；

（3）解：①若點(diǎn)P在線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，

PM與直線(xiàn)AC的交點(diǎn)為F，如圖2所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP∽△CMP．

∴ ．

∵∠ACE=∠AEC，

∴AC=AE．

∵AP⊥PC，

∴EP=CP．

∵PM∥y軸，

∴AF=CF，OM=CM．

∴FM= OA．

設(shè)OA=x，

∵PF∥OA，

∴△PDF∽△ODA．

∴ ，

∵PD=2OD，

∴PF=2OA=2x，F(xiàn)M= x．

∴PM= x．

∵∠APC=90°，AF=CF，

∴AC=2PF=4x．

∵∠AOC=90°，

∴OC= x．

∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，

∴四邊形PMON是矩形．

∴PN=OM= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

②若點(diǎn)P在線(xiàn)段OB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，

PM與直線(xiàn)AC的交點(diǎn)為F，如圖3所示．

同理可得：PM= x，CA=2PF=4x，OC= x．

∴PN=OM= OC= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

綜上所述：PA：PC的值為 或 ．

【解析】（1）易得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），即可得到PA的長(zhǎng)．（2）易證∠AOB=45°，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PM=PN，然后通過(guò)證明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．（3）可分點(diǎn)P在線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上及其反向延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況進(jìn)行討論．易證PA：PC=PN：PM，設(shè)OA=x，只需用含x的代數(shù)式表示出PN、PM的長(zhǎng)，即可求出PA：PC的值．
【考點(diǎn)精析】掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．