Question

（2012•晉江市質(zhì)檢）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-8，0）、點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．一條動(dòng)直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=

3

3

x交于點(diǎn)D，與線段BC交于點(diǎn)E．以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，EF與y軸的交點(diǎn)為G．當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，直線l停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，8

3

）

，四邊形ODEG的形狀一定是

平行四邊形

；
（2）試探究：四邊形ODEG能不能是菱形？若能，求出相應(yīng)的t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G恰好落在以DE為直徑的⊙M上？并求出此時(shí)⊙M的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)l與x軸交于點(diǎn)N，由△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-8，0）、點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0），易求得OC的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由直線l與直線y=

3

3

x交于點(diǎn)D與△DEF是等邊三角形，可證得GE∥OD，又由l∥y軸，可得四邊形ODEG是平行四邊形；
（2）首先待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，則可求得點(diǎn)D與E的坐標(biāo)，即可求得DE的長(zhǎng)，又由當(dāng)OD=DE時(shí)，四邊形ODEG是菱形，可得方程-

4 3

3

t+8

3

=

2 3

3

t，解此方程即可求得答案；
（3）連接DG，當(dāng)∠DGE=90°時(shí)，點(diǎn)G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，可得點(diǎn)E是EF的中點(diǎn)，易得當(dāng)OD=

1

2

DE時(shí)，點(diǎn)G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，即可得方程

2 3

3

t=

1

2

×（-

4 3

3

t+8

3

），解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)l與x軸交于點(diǎn)N，
∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-8，0）、點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0），
∴OA=OB=8，∠CAB=60°，
∴OC=OA•tan∠CAB=8×

3

=8

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，8

3

），
∵直線l與直線y=

3

3

x交于點(diǎn)D，
∴tan∠DON=

3

3

，
∴∠DON=30°，
∵l⊥x軸，
∴∠DNO=90°，ED∥OC，
∴∠ODN=60°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FED=60°，
∴∠FED=∠ODN，
∴EF∥OD，
∴四邊形ODEG是平行四邊形；
故答案為：（0，8

3

），平行四邊形；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵B（8，0），C（0，8

3

），
∴

8k+b=0 b=8 3

，
解得：

k=- 3 b=8 3

，
∴直線BC的解析式為：y=-

3

x+8

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

3

3

t），E（t，-

3

t+8

3

），
則DE=-

3

t+8

3

-

3

3

t=-

4 3

3

t+8

3

，
由（1）知，四邊形ODEG是平行四邊形，
∴要使四邊形ODEG為菱形，則必須有OD=DE成立；
設(shè)l與x軸交于點(diǎn)N，
∵OD=2DN=2×

3

3

t=

2 3

3

t，
∴-

4 3

3

t+8

3

=

2 3

3

t，
解得：t=4
∴當(dāng)t=4秒時(shí)，四邊形ODEG為菱形；

（3）當(dāng)t=0時(shí) G．E均與C重合，D與O重合．此時(shí)，點(diǎn)G落在以DE為直徑的圓M上，
當(dāng)t≠0時(shí)，如圖，連接DG，當(dāng)∠DGE=90°時(shí)，點(diǎn)G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，
∵DF=DE，
∴點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)
∴EG=

1

2

EF=

1

2

DE，
由（1）知，四邊形ODEG是平行四邊形，
∴OD=EG=

1

2

DE，
又由（2）知，DE=-

4 3

3

t+8

3

，OD=

2 3

3

t，
∴

2 3

3

t=

1

2

×（-

4 3

3

t+8

3

），
解得：t=3，
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，點(diǎn)G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，此時(shí)⊙M的半徑為：

2 3

3

×3=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及圓周角定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握符，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．