Question

如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．
（1）求證：AB=CB；
（2）過點D作出⊙O的切線；（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）
（3）設(shè)過D點⊙O的切線交BC于H，DH=，tanC=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得出AB=BC；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，過點D作BC的垂直線或作O、D連線的垂線即可；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，△CHD∽△CDB，=，進而求出即可．
解答：（1）證明：如圖1，連結(jié)BD．
∵點D在以AB為直徑的圓上，
∴AD⊥BD．
又∵CD=BD，
∴AB=AC．

（2）解：如圖1所示：
（過點D作BC的垂直線或作O、D連線的垂線）；

（3）解：連結(jié)OD，BD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線．∴OD∥BC．
∵過點D的直線與⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥AC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=，tanC=3，
∴CH=，CD=，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：BC=5，
即AB=5，
∴⊙O的直徑為5．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練利用切線的性質(zhì)定理得出是解題關(guān)鍵．