Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖）．E是射線BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），M是線段DE的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)BE=8時，四邊形ABED是

直角

梯形（填直角或等腰），此時梯形的面積是

12

．
（2）當(dāng)BE=

4

時，四邊形ABED是矩形，此時矩形的面積是

8

．
（3）①設(shè)BE=x，△BME的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
②設(shè)BE=x，△ABM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

Answer 1

分析：（1）當(dāng)BE=8時，四邊形ABED的AD=4，∠DAB=90°，就可以得出四邊形ABED是直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（2）由四邊形ABED是矩形就有AD=BE=4，再由矩形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（3）①由條件M是線段DE的中點(diǎn)可以知道MG=

1

2

AB，由三角形的面積公式就可以表示出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
②作MF⊥AB于F，由M是線段DE的中點(diǎn)就可以得出MF是梯形ABED的中位線，就可以表示出MF的值，由三角形的面積公式就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意，得
當(dāng)BE=8時，AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC，
∴AD≠BE，且∠DAB=90°，
∴四邊形ABED是直角梯形．
∴S=

(4+8)×2

2

=12．

（2）∵四邊形ABED是矩形，
∴AD=BE．
∵AD=4，
∴BE=4．
S=2×4=8．

（3）①作DH⊥BC于H，MG⊥BC與G，
∴DH∥MG，∠DHB=∠DHC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DHC=90°．
∵∠DAB=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴DH=AB=2，
∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)，
∴MG=

1

2

DH=1．
∴S_△BME=

1

2

BE•GM，
=

1

2

×1×x，
=

1

2

x（x＞0）．
∴S與x之間的函數(shù)解析式為：S=

1

2

x（x＞0）；
②作MF⊥AB于F，
∴∠MFB=90°．
∵∠DAB=90°，
∴∠MFB=∠DAB，
∴MF∥BC．
∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)，
∴F是AB的中點(diǎn)，
∴MF是梯形ABED的中位線，
∴MF=

1

2

（AD+BE），
=

1

2

×（4+x），
∴y=

1

2

×2×

1

2

×（4+x），
y=

1

2

x+2（x＞0）．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

x+2（x＞0）．
故答案為：直角，12；4，8．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的中位線和三角形的中位線的運(yùn)用，一次函數(shù)函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答時根據(jù)梯形的中位線和三角形的中位線確定三角形的高是解答本題的難點(diǎn)及關(guān)鍵．