Question

（2013•資陽）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

a

x

（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)？
（2）假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的值．

Answer 1

分析：（1）①運(yùn)用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=-x=5-m，根據(jù)題意得方程組

y= 4 x y=-x+5-m

只有一組解時(shí)，化為關(guān)于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，則△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，當(dāng)m=9時(shí)，公共點(diǎn)不在第一象限，所以m=1；
（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到AF=

a

n

，DF=

b

n

，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a-

a

n

，

b

n

），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值．

解答：解：（1）①把D（4，1）代入y=

a

x

得a=1×4=4，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

（x＞0）；
設(shè)直線l的解析式為y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得

4k+t=1 k+t=4

，
解得

k=-1 t=5

．
所以直線l的解析式為y=-x+5；
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=-x+5-m，
當(dāng)方程組

y= 4 x y=-x+5-m

只有一組解時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
化為關(guān)于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，
△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，
而m=9時(shí)，解得x=-2，故舍去，
所以當(dāng)m=1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）作DF⊥x軸，如圖，
∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴

AF

AO

=

DF

BO

=

AD

AB

，即

AF

a

=

DF

b

=

1

n

，
∴AF=

a

n

，DF=

b

n

，
∴OF=a-

a

n

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（a-

a

n

，

b

n

），
把D（a-

a

n

，

b

n

）代入y=

a

x

得（a-

a

n

）•

b

n

=a，
解得b=

n2

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．