Question

（本題8分）
某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高．已測(cè)出樹(shù)AB的影長(zhǎng)AC為9米，并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成30°夾角．

（1）求出樹(shù)高AB；
（2）因水土流失，此時(shí)樹(shù)AB沿太陽(yáng)光線(xiàn)方向倒下，在傾倒過(guò)程中，樹(shù)影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)與地面夾角保持不變。
小題1:①求樹(shù)與地面成45°角時(shí)的影長(zhǎng)。
小題2:②試求樹(shù)影的最大長(zhǎng)度．
（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

小題1:（1）⒌1
小題2:（2）① ⒐6        ②⒑2

分析：
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數(shù)即可求得AB的長(zhǎng)；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的長(zhǎng)，即AB的長(zhǎng)，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過(guò)B₁作AC₁的垂線(xiàn)，在直角△AB₁N中根據(jù)三角函數(shù)求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據(jù)三角函數(shù)求得NC₁的長(zhǎng)，即可求解；
②當(dāng)樹(shù)與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大，根據(jù)三角函數(shù)即可求解。
解答：
（1）AB=ACtan30°=9×/3=3=5.1（米）
答：樹(shù)高約為5.1米。
（2）作B₁N⊥AC₁于N。
①如圖（2）：

B₁N=AN=AB₁sin45°=3≈3.5（米），
NC₁=NB₁tan60°=3×≈6.1（米），
AC₁=AN+NC₁=3.5+6.1=9.6（米）。
答：樹(shù)與地面成45°角時(shí)的影長(zhǎng)約為9.6米。
②如圖（2），當(dāng)樹(shù)與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大AC₂（或樹(shù)與光線(xiàn)垂直時(shí)影長(zhǎng)最大或光線(xiàn)與半徑為AB的⊙A相切時(shí)影長(zhǎng)最大）
AC₂=2AB₂≈10.2米
答：樹(shù)的最大影長(zhǎng)約為10.2米。
點(diǎn)評(píng)：一般三角形的計(jì)算可以通過(guò)作高線(xiàn)轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。