Question

（2013•包頭）如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點(diǎn)E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，若AG•AB=12，求AC的長(zhǎng)；
（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進(jìn)而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得：AG=

AF2+GF2

，即可得出sin∠ADB=

2

5

5

，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

解答：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴

AC

AB

=

AG

AC

，
即AC²=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC²=12，
∴AC=2

3

；

（3）解：設(shè)AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，
即3x²=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根據(jù)勾股定理得：AG=

AF2+GF2

=

22+12

=

5

，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB=

12

AG

=

12 5

5

，
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=

AB

AD

，AD=6，
∴sin∠ADB=

2

5

5

，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=

2

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出AG的長(zhǎng)以及AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．