Question

在正整數(shù)范圍內(nèi)，方程組（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，y≤1000有多少組解？其中（　　）、[]分別表示最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)．

A、3

B、6

C、12

D、24

Answer 1

分析：根據(jù)60、90分別是y的約數(shù)可得出y=180k（k取正整數(shù)），結(jié)合y≤1000討論k的值，然后每一個(gè)y值可得出符合題意的x、z的組合，繼而可得出答案．

解答：解：由題意得，60、90都是y的約數(shù)，
∴y=180k（k取正整數(shù)），
又∵y≤1000，
則k≤5；
①當(dāng)k=1時(shí)，y=180，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
∴可得x=120，z=90，
則（x，z）=（120，90），此時(shí)有1組解．
②當(dāng)k=2時(shí)，y=360，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
沒(méi)有符合題意的x和z，此時(shí)沒(méi)有解．
③當(dāng)k=3時(shí)，y=540，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時(shí)有1組解．
④當(dāng)k=4時(shí)，y=720，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60，z=90，
又∵[z，x]=360，
∴沒(méi)有符合題意的x和z，此時(shí)沒(méi)有解．
⑤當(dāng)k=5時(shí)，y=900，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60或120或360，z=90或360，
又∵[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時(shí)有1組解．
綜上可得共有3組解．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)，根據(jù)題意得出y=180k是解答本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分類(lèi)討論k的值時(shí)，判斷符合題意的x、z的組合，難度較大，要求細(xì)心解答．