Question

（2013•香坊區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作BC的垂線，垂足為D，過(guò)B點(diǎn)作AD的垂線交OD、AD于點(diǎn)F和點(diǎn)K，交AC于點(diǎn)E，OF：CD=2：3．
（1）求直線AB的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不包括B、C兩點(diǎn)），速度為每秒2

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，線段AN長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒

15

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接ON，當(dāng)AD平分線段NQ時(shí)，求此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出AB解析式；
（2）設(shè)AD與y軸交于S點(diǎn)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，求得一次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)NQ與AD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD到G，使得MG=AM，連接QG，利用三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及一次函數(shù)解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（3，0）、B（0，6）代入y=kx+b，得

3k+b=0 b=6

，
解得：

k=-2 b=6

，
則直線AB的解析式為y=-2x+6；
（2）設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)S，
∵OD⊥BC，
∴∠DCA+∠DOC=90°，
又∵∠FOB+∠DOC=90°，
∴∠DCA=∠FOB，
∵BE⊥AD，
∴∠BFA=90°，
∵x軸⊥y軸，
∴∠SOA=90°，
∴∠BFA=∠SOA，
又∵∠FSB=∠OSA，
∴∠FBO=∠DAC，
∴△DCA∽△FOB，
∴BC²=CE•CD，
∵BO=6，AO=3，
∴AC=9，
∴C（-6，0），
∴BC=6

2

，AB=3

5

，
當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵PN∥x軸，
∴

PB

BC

=

AB-AN

AN

，即

2 2 t

6 2

=

3 5 -d

3 5

，
∴d=-

5

t+3

5

（0＜t＜3）；
（3）設(shè)NQ與AD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD到G，使得MG=AM，連接QG，
∵M(jìn)N=MQ，∠AMN=∠QMG，
∴△ANM≌△GQM（SAS），
∴∠ANM=∠GQM，GQ=AN=d=-

5

t+3

5

，
∴AN∥GQ，
∴∠CQG=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠GQC=2，過(guò)G點(diǎn)作GR⊥AC，垂足為R，
∴設(shè)RQ=a，則GR=2a，
∴GQ=

RQ2+GR2

=

5

a，
過(guò)D作DH⊥BO于點(diǎn)H，
∵OB=OC，∠ACB=45°，OD⊥BC，
∴CD=BD，DH=BH=HO=

1

2

CO=3，
∴DH=AO，
在△DSH和△ASO中，∠HDA=∠DAO，DH=AO，∠DSH=∠AOS，
∴△DSH≌△ASO（ASA），
∴HS=SO=

1

2

HO=

3

2

，tan∠DAC=

OS

OA

=

3 2

3

=

1

2

，
∴AR=4a，
∴AQ=AR-RQ=4a-3a=3a，
又∵AQ=

15

4

t，GQ=AN=d=-

5

t+3

5

，
∴

3a= 15 4 t 5 a=3 5 - 5 t

，
解得：t=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及有關(guān)銳角三角函數(shù)的意義等問(wèn)題．