Question

在?ABCD中，已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)為12，AB=5，
（1）求對(duì)角線AC與BD的和？
（2）能否求出AC與BD分別是多少？
（3）若?ABCD是菱形，能否求出AC與BD分別是多少？

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∵△AOB的周長(zhǎng)為12，AB=5，
∴OA+OB+AB=12，
∴OA+OB=7，
∴AC+BD=2（OA+OB）=14；

（2）不能求出AC與BD分別是多少，
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚腁C和BD只有互相平分，沒(méi)有其它條件；

（3）設(shè)AO=x，則OB=7-x，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB²=AO²+OB²，
5²=x²+（7-x）²，
x₁=3，x₂=4，
當(dāng)x=3時(shí)，7-x=4，AC=6，BD=8；
當(dāng)x=4時(shí)，7-x=3，AC=8，BD=6；
答：AC和BD的長(zhǎng)分別為6、8或8、6．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AC=2OA，BD=2OB，求出AO+OB，即可求出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)之一-平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可得出答案；
（3）設(shè)AO=x，則OB=7-x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得出5²=x²+（7-x）²，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，用了方程思想．