Question

點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，并將AB、OB、OC、AC中點(diǎn)D、E、F、G，依次連接起來(lái)，設(shè)DEFG能構(gòu)成四邊形．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)時(shí)，求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？（畫(huà)出圖形，指出結(jié)論，不需說(shuō)明理由；）
（3）若四邊形DEFG是菱形，則點(diǎn)O的位置應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）根據(jù)平行四邊形的判定性質(zhì)求證．
（3）把結(jié)論當(dāng)做已知條件，由結(jié)論推出已知．

解答：證明：（1）∵AB、OB、OC、AC中點(diǎn)分別為D、E、F、G
∴DG、EF分別為△ABC和△OBC的中位線
∴DG∥BC  EF∥BC DG=

1

2

BC  EF=

1

2

BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：成立，
理由是：如圖所示，
∵由（1）知，DG∥BC  EF∥BC DG=

1

2

BC  EF=

1

2

BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（3）當(dāng)點(diǎn)O滿(mǎn)足OA=BC，四邊形DEFG是菱形．
由三角形中位線性質(zhì)得DE=EF，
所以平行四邊形DEFG是菱形．

點(diǎn)評(píng)：菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對(duì)角線互相垂直平分．