Question

21、環(huán)行跑道的一周插了若干紅、黃兩種顏色的彩旗，已知一共變色了46次（一個紅旗與一個黃旗相鄰或一個黃旗與一個紅旗相鄰，稱為一次變色），現(xiàn)可將相鄰的旗子對調(diào)，如果若干次對調(diào)后，變色次數(shù)減少為26次．試說明：在對調(diào)過程中，必有一個時刻，彩旗的變色次數(shù)恰好為28次．

Answer 1

分析：首先為了方便，用⊙表示紅色旗，用△表示黃色旗，可設(shè)對調(diào)前兩旗為⊙△．因?qū)φ{(diào)一次只可能影響這兩旗相鄰旗子的變色數(shù)，所以利用抽屜原理即可求解．

解答：解：首先說明，將相鄰的旗子對調(diào)一次，變色次數(shù)或不變，或增加2次，或減少2次．
顯然，如果對調(diào)的兩旗同色，則不改變變色數(shù)，以下為了方便，用⊙表示紅色旗，用△表示黃色旗，可設(shè)對調(diào)前兩旗為⊙△，
因?qū)φ{(diào)一次只可能影響這兩旗相鄰旗子的變色數(shù)，因此（考慮對稱性），只需考慮如下幾種對調(diào)前的情形：
⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（變色數(shù)依次為1，2，3，2），
將中間兩旗對調(diào)后變?yōu)椤选鳌选�，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（變色�?shù)依次為3，2，1，2）．
由此可見，變色數(shù)或不變，或增加2次，或減少2次．
由原來的變色數(shù)46，經(jīng)過若干次增、減2，現(xiàn)在成為26，故必須經(jīng)過46與26之間的所有偶數(shù)．
所以在對調(diào)過程中，必有一個時刻，彩旗的變色次數(shù)恰好為28次．

點評：本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大．解題的關(guān)鍵是合理應(yīng)用抽屜原理．