Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC=10，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，將三角板DEF的直角邊EF放置于三角板ABC的斜邊AC上，且點E與點A重合．
▲操作一：固定三角板ABC，將三角板DEF沿AC方向平移，使直角邊ED剛好過B點，如圖2所示；
[探究一]三角板DEF沿A→C方向平移的距離為

5

2

；
▲操作二：將三角板DEF沿A→C方向平移至一定位置后，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC交于點Q；
[探究二]在旋轉(zhuǎn)過程中，
（1）如圖3，當(dāng)

CE

EA

=1時，請判斷下列結(jié)論是否正確（用“√”或“×”表示）：
①EP=EQ；

√

②四邊形EPBQ的面積不變，且是△ABC面積的一半；

√

（2）如圖4，當(dāng)

CE

EA

=2時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)

CE

EA

=m時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為

EQ=mEP

；（直接寫出結(jié)論，不必證明）

Answer 1

分析：[探究一]根據(jù)等腰直角三角形“三合一”的性質(zhì)推知BE是直角三角形ABC斜邊AC上的中線，然后由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半即可求得BE=AE=5

2

；
[探究二]（1）①連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；
②利用①中全等三角形的性質(zhì)知S_△BEP=S_△CEQ，然后根據(jù)圖形知S_{四邊形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE=

1

2

S_△ABC；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；
（3）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果．

解答：解：[探究一]如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=10，
∴AC=10

2

（勾股定理）；
又∵BE⊥AC，
∴BE=AE=

1

2

AC=5

2

（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）；
即三角板DEF沿A→C方向平移的距離為5

2

；
故答案是：5

2

；
            
[探究二]
（1）①如圖3，連接BE，根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì)，得
∠PBE=∠C，BE=CE，
又∠BEP=∠CEQ，
則△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；
故答案是：√；

②由①知，△BEP≌△CEQ，
∴S_△BEP=S_△CEQ，
∴S_{四邊形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE；
又∵BE是直角三角形ABC斜邊AC上的中垂線，
∴S_△ABE=

1

2

S_△ABC，
∴S_{四邊形EPBQ}=

1

2

S_△ABC；
故答案是：√；

（2）EQ=2EP．理由如下：
如圖4，過E作EM⊥BC于M，過E作EN⊥AB于N，
則EM=

2

2

EC，EN=

2

2

AE，
∵

CE

EA

=2，
∴

EM

EN

=2． 
∵∠QEM+∠MEP=∠PEN+∠MEP=90°，
∴∠QEM=∠PEN，
又∠EMQ=∠ENP，
∴△EMQ∽△ENP，
∴

EQ

EP

=

EM

EN

=2，即：EQ=2EP；

（3）由（1）知，當(dāng)

CE

EA

=1時，EP=EQ；
由（2）知，當(dāng)

CE

EA

=2時，EP=2EQ；
∴當(dāng)

CE

EA

=m時，EP=mEQ；
故答案是：EQ=mEP．

點評：本題考查的是相似綜合題．熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．