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        1. (2011•德宏州)如圖,已知直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=
          kx
          (k≠0)交于A、B兩點,且點A(2,1),點B的縱坐標為2.
          (1)求雙曲線的解析式;
          (2)求直線的解析式;
          (3)求線段AB的長;
          (4)問在雙曲線上是否存在點C,使△ABC的面積等于3?若存在,求出點C的坐標;若不存在,說明理由(結果不需要分母有理化)
          分析:(1)將點A的坐標代入雙曲線解析式,即可求得k的值;
          (2)把點B的縱坐標代入(1)中的雙曲線解析式即可求得點B的橫坐標;然后把點A、B的坐標分別代入直線方程,列出關于a、b的方程組,通過解方程組來求a、b的值;
          (3)利用兩點間的距離公式來求線段AB的長度;
          (4)如圖,過點C作CD∥x軸,交直線AB于點D;過點C作CH⊥AB于點H.利用面積法求得CH=3
          2
          .然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征設C(x,
          2
          x
          ),則D(3-
          2
          x
          ,
          2
          x
          ).
          易求|CD|=|3-
          2
          x
          -x|=6;最后通過解絕對值方程來求x的值.
          解答:解:(1)根據(jù)題意知,點A(2,1)在雙曲線y=
          k
          x
          (k≠0)上,則k=xy=2×1=2,
          所以雙曲線的解析式為y=
          2
          x
          ;

          (2)根據(jù)題意知,點B在雙曲線y=
          2
          x
          上,且點B的縱坐標是2.故設B(x,2).則
          2=
          2
          x
          ,
          解得,x=1,
          故點B的坐標是(1,2).
          ∵點A、B都在直線y=ax+b(a≠0)上,
          1=2a+b
          2=a+b

          解得,
          a=-1
          b=3
          ,
          ∴直線的解析式為:y=-x+3;

          (3)∵A(2,1),B(1,2),
          ∴AB=
          (1-2)2+(2-1)2
          =
          2
          ,即線段AB的長度是
          2


          (4)存在,理由如下:
          如圖,過點C作CD∥x軸,交直線AB于點D;過點C作CH⊥AB于點H.
          ∵AB=
          2
          ,S△ABC=3,
          1
          2
          AB•CH=3,即
          1
          2
          ×
          2
          =3,
          ∴CH=3
          2

          設C(x,
          2
          x
          ),則D(3-
          2
          x
          ,
          2
          x
          ).
          ∴|CD|=|3-
          2
          x
          -x|.
          在Rt△CDH中,∠CDB=45°,CH=3
          2
          ,則CD=6,
          得方程|3-
          2
          x
          -x|=6.
          ①當3-
          2
          x
          -x=6時,解得,x1=-1,x2=-2,
          ∴點C的坐標是(-1,-2),(-2,-1);
          ②當3-
          2
          x
          -x=-6時,解得x1=
          9+
          73
          2
          ,x2=
          9-
          73
          2
          ,
          ∴點C的坐標是(
          9+
          73
          2
          ,
          4
          9+
          73
          ),(
          9-
          73
          2
          ,
          4
          9-
          73
          );
          綜上所述,符號條件的點C有4個,即(-1,-2),(-2,-1),(
          9+
          73
          2
          ,
          4
          9+
          73
          ),(
          9-
          73
          2
          ,
          4
          9-
          73
          ).
          點評:本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,是常用的一種解題方法.同學們要熟練掌握這種方法.
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