Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點(diǎn)，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點(diǎn)G是BC、AE延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，AG與CD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）當(dāng)AE=3EF時(shí)，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質(zhì)，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形；
（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=3EF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得FG=8EF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，
即∠DAE=∠DCE，
在△AED和△CED中，

∠DAE=∠DCE ∠AED=∠CED DE=DE

，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD=CD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是正方形；

（2）當(dāng)AE=3EF時(shí)，F(xiàn)G=8EF．    
證明：設(shè)EF=k，則AE=3k
∵△AED≌△CED，
∴CE=AE=3k，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠DAE，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴

EF

CE

=

CE

EG

，
∴

k

3k

=

3k

EG

，
∴EG=9k，
∴FG=EG-EF=8k，
∴FG=8EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．