Question

操作：如圖①，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN。
探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明。
說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明。
①AN=NC（如圖②）；
②DM∥AC（如圖③）。
附加題：若點(diǎn)M、N分別是射線AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖④中畫出圖形，并說明理由。

Answer 1

解：BM+CN=MN 證明：如圖，延長(zhǎng)AC至M1，使CM1=BM，連結(jié)DM1， 由已知條件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， ∵BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1， ∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1， ∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°， 又∵∠MDN=60°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB； 附加題： CN-BM=MN， 證明：如圖，在CN上截取，使CM1=BM，連結(jié)DM1， ∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠DBM=∠DCM1=90°， ∵BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1， ∴∠MDB=∠M1DC， DM=DM1， ∵∠BDM+∠BDN=60°， ∴∠CDM1+∠BDN=60°， ∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60° ∴∠M1DN=∠MDN， ∵AD=AD， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB。