Question

某課題組在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小．解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為

 

；
（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值；
（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最�。�連接AB′，根據(jù)勾股定理求解；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時(shí)BM+MN的值最�。�通過證明△B′AB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解；
（3）將求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱--最短路線問題．

解答：解：（1）

10

作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于P，
此時(shí)PB+PE的值最小．連接AB′．
AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

AE=

1

2

AB=

2

∵∠B′AC=∠BAC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時(shí)BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
理由：如圖1，在AC上任取一點(diǎn)l（不與點(diǎn)M重合），
在AB上任取一點(diǎn)N_l，
連接B′M_l、BM_l、M_lN_l、B′NN_l．
∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱
∴BM_l=B′M_l∴BM_l+M_lN_l=B′M_l，BMM_lN_l＞B′N_l
又∵B′N_l＞B′N，BM+MN=B′N
∴BM_l+M_lN_l＞BM+MN
計(jì)算：如圖2
∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°∴∠B′AB=60°圖2
∴△B′AB是等邊三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°又∵B′N⊥AB∴B′N=B′B°=

3

（3）方法一：構(gòu)造圖形如圖所示
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
那么PC+PD=

x2+1

+

(4-x)2+4

所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值就是求PC+PD的
最小值．
作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，過C′作C′E垂直DB的延長(zhǎng)線于E．
則C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=

C′E2+DE2

=

42+32

=5
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值是5．
方法二：構(gòu)造圖形如圖所示：
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）
那么PA+PB=

x2+1

+

(4-x)2+4

所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值就是求PA+PB的
最小值．
作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過A′作A′C垂直于
y軸，過點(diǎn)B作BC垂直于x軸交A′C于點(diǎn)C．
則A′C=4，BC=3，A′B=

A′C2+BC

=

42+32

=5
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值是5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，同時(shí)考查了勾股定理及等邊三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．