Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在邊BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CE=BK=AG.

（1）求證：①DE=DG； ②DE⊥DG；

（2）尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想；

（4）當(dāng)=時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）

【解析】

試題（1）由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等等量代換得出∠EDG＝90°即可；

（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，分別以點(diǎn)G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點(diǎn)F，得到正方形DEFG；

（3）由已知首先根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證出四邊形CKGD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證明四邊形CEFK為平行四邊形；

（4）設(shè)CE＝x，則CB＝nx，CD＝nx，根據(jù)勾股定理表示出DE2，即可表示出正方形ABCD和正方形DEFG的面積，然后作比即可．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．

又∵CE＝AG，

∴△DCE≌△DAG，

∴DE＝DG，

∠EDC＝∠GDA，

又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠ADE＋∠GDA＝90°，

∴DE⊥DG．

（2）解：如圖．

（3）解：四邊形CEFK為平行四邊形．

證明：設(shè)CK、DE相交于M點(diǎn)

∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，

∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG，

∵BK＝AG，

∴KG＝AB＝CD，

∴四邊形CKGD是平行四邊形，

∴CK＝DG＝EF，CK∥DG，

∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°，

∴∠KME＋∠DEF＝180°，

∴CK∥EF，

∴四邊形CEFK為平行四邊形．

（4）解：∵，

∴設(shè)CE＝x，則CB＝nx，

∴CD＝nx，

∴DE2＝CE2＋CD2＝n2x2＋x2＝(n2＋1)x2，

∵BC2＝n2x2，

∴＝＝．