Question

（2013•奉賢區(qū)一模）如圖（1），已知∠MON=90°，點(diǎn)P為射線ON上一點(diǎn)，且OP=4，B、C為射線OM和ON上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC＞OP），過點(diǎn)P作PA⊥BC，垂足為點(diǎn)A，且PA=2，連接BP．
（1）若

S△PAC

S四邊形ABOP

=

1

2

時(shí)，求tan∠BPO的值；
（2）設(shè)PC=x，

AB

BC

=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）如圖（2），過點(diǎn)A作BP的垂線，垂足為點(diǎn)H，交射線ON于點(diǎn)Q，點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段OQ的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值．若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有兩對(duì)角相等的三角形相似可證明△CAP∽△COB，由相似三角形的性質(zhì)可知：

S△PAC

S△COB

=（

AP

OB

）²，在由已知條件可求出OB的長(zhǎng)，由正切的定義計(jì)算即可；
（2）作AE⊥PC于E，易證△PAE∽△PCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等PE=

4

x

，再利用平行線的性質(zhì)即可得到

AB

BC

=

OE

OC

，所以y=

4+ 4 x

x+4

，整理即可得到求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域即可；
（3）點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段OQ的長(zhǎng)不發(fā)生變化，由△PAH∽△PBA得：

PA

PB

=

PH

PA

，即PA²=PH•PB，由△PHQ∽△POB得：

PQ

PB

=

PH

PO

即PQ•PO=PH•PB，所以PA²=PQ•PO，再由已知數(shù)據(jù)即可求出OQ的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵PA⊥BC，
∴∠CAP=90°
∴∠CAP=∠0=90°，
又∵∠ACP=∠OCB，
∴△CAP∽△COB，
∴

S△PAC

S△COB

=（

AP

OB

）²，
∵

S△PAC

S四邊形ABOP

=

1

2

，
∴

S△PAC

S△COB

=

1

3

，
∴（

AP

OB

）²=

1

3

，
∵AP=2，
∴OB=2

3

，
在Rt△OBP中，tan∠OPB=

OB

OP

=

3

2

；
（2）作AE⊥PC于E，
∴∠AEP=∠CAP=90°
∵∠APE=∠CPA，
∴△PAE∽△PCA，
∴

PA

PC

=

PE

PA

，
∴2²=PE•x，
∴PE=

4

x

，
∵∠MON=∠AEC，
∴AE∥OM，
∴

AB

BC

=

OE

OC

，
∴y=

4+ 4 x

x+4

，
整理得：y=

4x+4

x2+4x

（x＞0）；
（3）點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段OQ的長(zhǎng)不發(fā)生變化，
理由如下：由△PAH∽△PBA得：

PA

PB

=

PH

PA

，即PA²=PH•PB，
由△PHQ∽△POB得：

PQ

PB

=

PH

PO

即PQ•PO=PH•PB，
∴PA²=PQ•PO，
∵PA=2，PO=4，
∴PQ=1，
∴OQ=3，
即點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OQ的長(zhǎng)不發(fā)生變化，長(zhǎng)度是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、平行線的判定和性質(zhì)、由比例式引出的線段之間的函數(shù)關(guān)系，題目的綜合性綜合性很強(qiáng)，特別是第三問的動(dòng)點(diǎn)問題是中考題中的難點(diǎn)．