Question

（本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分6分）
已知函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（），使得恒成立，則稱(chēng)為“S-函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；
（2）若是一個(gè)“S-函數(shù)”，求出所有滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；
（3）若定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/12/38152.gif" >的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/18/38158.gif" >，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域.

Answer 1

(1)是
(2) 滿(mǎn)足是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=
(3) 解析:
解：（1）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b時(shí)，對(duì)xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有兩個(gè)解，矛盾，
因此不是“S-函數(shù)”.………………………………………………3分
若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，
即存在常數(shù)對(duì)（a, 32a）滿(mǎn)足.
因此是“S-函數(shù)”………………………………………………………6分
（2）是一個(gè)“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a, b）滿(mǎn)足:
則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
當(dāng)a=時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常數(shù).……………………7分
因此，,
則有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
當(dāng),時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此滿(mǎn)足是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=.…12分
(3) 函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和，
于是
即,
 ，.……………………14分
.………16分
                  
因此, …………………………………………17分

綜上可知當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/3/38163.gif" >.……………18分