Question

25、如圖，矩形ABCD中，AB=a，AD=b，P是邊DC上的任意一點，連接PA、PB，點E、F、G分別是AB、BP、PA的中點．
（1）求證：四邊形EFPG是平行四邊形；
（2）試猜想：當(dāng)P位于什么位置時，四邊形EFPG是菱形？并證明猜想的正確性；
（3）以下是小慧和小聰?shù)囊欢螌υ挘?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/201009/9/f9c9c4a9.png" style="vertical-align:middle" />
你贊成誰的觀點？如果贊成小慧，請說明理由；如果贊成小聰，請直接寫出a與b之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）運用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行證明；
（2）當(dāng)P位于DC中點時，四邊形EFPG是菱形．先由矩形的性質(zhì)，得∠D=∠C=90°，DA=CB，再根據(jù)中點的定義證明△DAP≌△CBP，從而得PA=PB，再根據(jù)中點的定義證得PG=PF，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形得證四邊形EFPG是菱形．
（3）小慧的觀點正確，由一組鄰邊相等的平行四邊形可得菱形，只要P為DC的中點，△DAP≌△CBP時，PA=PB，平行四邊形EFDG即為菱形，所以與a、b之間的關(guān)系無關(guān)．

解答：（1）證明：∵點E、F、G分別是AB、BP、PA的中點，
∴EG∥PB，EF∥PA，∴四邊形EFPG是平行四邊形．

（2）解：當(dāng)P位于DC中點時，四邊形EFPG是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，DA=CB．
又∵P為DC中點，∴DP=CP．
∴△DAP≌△CBP，∴PA=PB．
∵F、G分別是PB、PA的中點，
∴PG=PF．
又∵四邊形EFPG是平行四邊形，
∴四邊形EFPG是菱形．

（3）解：我贊成小慧的觀點，理由如下：
由（2）知，只要PA=PB，四邊形EFDG即為菱形．
即當(dāng)P為DC的中點，△DAP≌△CBP時，PA=PB．這與a、b之間的關(guān)系無關(guān)．

點評：解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．