Question

△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．
（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；
（2）如圖2，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45°，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得△ECN∽△MEN．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BME=∠NEC，（4分）
而∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE．（6分）

（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

=

EM

NE

．（8分）
又∵BE=EC，
∴

EC

CN

=

EM

NE

，（10分）
則△ECN與△MEN中有

EC

CN

=

ME

EN

，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．（12分）

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．