Question

【題目】如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切，

理由是：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

已知D為⊙O的一點(diǎn)，

∴直線CD是⊙O的切線，

即直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）解：∵AC=2，⊙O的半徑是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

設(shè)DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

則（4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即BE=6．

【解析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)切線長定理求出DE=EB，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．