Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C是直線l：y=x+5與x軸的交點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E是直線l在第三象限上的點(diǎn)，連接EA、EB，當(dāng)△ECA∽△BCE時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接AD、BD，在直線DE上是否存在點(diǎn)P，使得∠APD=∠ADB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-9，-4）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-4）或（2，-4），見解析.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A，B的坐標(biāo)利用相似三角形的性質(zhì)可求出EC的值，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則△CEF為等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出CE，EF的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）利用配方法可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BD的長度，結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-4，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥直線DE于點(diǎn)N，利用面積法可求出AM的值，由∠APD=∠ADB結(jié)合正切的定義可求出PN的值，再結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解．

（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，

得：，解得：，

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x+5=0，

解得：x=-5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∴AC=4，BC=8．

∵△ECA∽△BCE，

∴∠ECA=∠BCE，=，即=，

∴EC=4或EC=-4（舍去），

過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1所示，

∵直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x+5，

∴△CEF為等腰三角形，

∴CE=EF=4，

∴OF=5+4=9，EF=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-9，-4）；

（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），

∴AD=BD==2，

由（2）可知：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-9，-4），

∴直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-4，

過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥直線DE于點(diǎn)N，如圖2所示，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∴S△ABD=×[3-（-1）]×4=8，

∴AM===，

∴DM==，

∵∠APD=∠ADB，

∴tan∠APD=tan∠ADB，即=，

∴=，

∴PN=3，

又∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，-4），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-4）或（2，-4）．

綜上所述：在直線DE上存在點(diǎn)P（-4，-4）或（2，-4），使得∠APD=∠ADB．