Question

【題目】如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ．

（1）點(diǎn)（填M或N）能到達(dá)終點(diǎn)；
（2）求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；

（3）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）M
（2）

解：經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t，

∵A（4，0），C（0，4），

∴AO=CO=4，

∵∠AOC=90°，

∴∠BCA=∠MAQ=45°，

∴QN=CN=3﹣t

∴PQ=1+t，

∴S△AMQ= AMPQ= （4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．

∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t﹣ + +2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∵0≤t≤2

∴當(dāng) 時(shí)，S的值最大．

（3）

解：存在．

設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t

∴∠BCA=∠MAQ=45°

①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高

∴PQ是底邊MA的中線

∴PQ=AP= MA

∴1+t= （4﹣2t）

∴t=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）

②若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合

∴QM=QP=MA

∴1+t=4﹣2t

∴t=1

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）

【解析】（1）（BC÷點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度）與（OA÷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度）可知點(diǎn)M能到達(dá)終點(diǎn)．（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)可得NB=y，OM﹣2t．根據(jù)∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)t的值求出S的最大值．（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．