Question

【題目】如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的垂線交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G．

（1）求證：BF＝CG；

（2）若AB＝10，AC＝6，求線段CG的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CG=2.

【解析】

本題需先連接EC、EB，根據(jù)AE是∠CAB的平分線，得出EG=EF，再根據(jù)ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌Rt△BFE，從而證出BF=CG;

本題根據(jù)AE是∠CAB的平分線，得出∠FAE=∠GAE，再根據(jù)EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，得出∠AFE=∠AGE ,即可證得△AFE≌△AGE ，從而得到AF=AG，

設(shè)BF=CG=x, AG=AF=y，組成二元一次方程組即可求解.

（1）連接EC、EB

AE是∠CAB的平分線，

EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，

EG=EF

點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ED垂直BC

∴ED垂直平分BC，

EC=EB

Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），

BF＝CG

(2)AE是∠CAB的平分線

∴∠FAE=∠GAE

∵EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC

∴∠AFE=∠AGE=90°

在△AFE和△AGE中

,

∴△AFE≌△AGE（AAS）

∴AF=AG

設(shè)BF=CG=x, AG=AF=y

∴AB=AF+BF=x+y=10

AC=AG-CG=y-x=6

∴

解得

∴CG=BF=2.