Question

4、我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如下圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：
（a+b）⁰=1，它只有一項，系數(shù)為1；
（a+b）¹=a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；
…
根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：
（1）（a+b）⁴展開式共有

5

項，系數(shù)分別為

1，4，6，4，1

；
（2）（a+b）ⁿ展開式共有

n+1

項，系數(shù)和為

2ⁿ

．

Answer 1

分析：經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字組成的三角形是等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1，從第3行開始，中間的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字之和，展開式的項數(shù)比它的指數(shù)多1．根據(jù)上面觀察的規(guī)律很容易解答問題．

解答：解：（1）展開式共有5，展開式的各項系數(shù)分別為1，4，6，4，1，
（2）展開式共有n+1項，系數(shù)和為2ⁿ．
故答案為：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．

點評：本題考查完全平方式．本題主要是根據(jù)已知與圖形，讓學(xué)生探究，觀察規(guī)律，鍛煉學(xué)生的思維，屬于一種開放性題目．