Question

如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C是線段AB的中點(diǎn)．拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過O、A兩點(diǎn)，且其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

（1）分別寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
-x+8=0，x=6；
y=0+8，y=8；
（6+0）÷2=3，（0+8）÷2=4．
∴A（6，0）、B（0，8）、C（3，4）；

（2）依題意有
解得
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=；

（3）存在點(diǎn)P，使以O(shè)、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∵∠AOB=90°，A（6，0）、B（0，8），
∴，
∵C是AB的中點(diǎn)，
∴OC==5，
∵OB=8，
∴OB＞OC，且OB＞BC，
∴當(dāng)以O(shè)、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，OB是該菱形的對角線，
連接PC，則OB是PC的垂直平分線，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線OB對稱，即P與C關(guān)于y軸對稱，
∵C（3，4），
∴P（-3，4），
把點(diǎn)P（-3，4）代入拋物線方程y=得：
當(dāng)x=-3時，y=，
∴點(diǎn)P（-3，4）在拋物線上．
故在拋物線上存在點(diǎn)P，使以O(shè)、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，4）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可確定A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）欲求過O、A二點(diǎn)且其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為的拋物線解析式，利用待定系數(shù)法來求得該拋物線的解析式．
（3）首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，4）．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．