Question

（2013•曲靖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=-x²+bx+c．點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積．
（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），根據(jù)已知條件求出點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，8+m）；由于點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上，則可以列出方程求出m的值．在計(jì)算四邊形CAEB面積時(shí)，利用S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO，可以簡(jiǎn)化計(jì)算；
（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點(diǎn)是求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由于點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上，則可以由此列出方程求出未知數(shù)．

解答：解：（1）在直線(xiàn)解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵點(diǎn)A（-4，0），B（0，4）在拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c上，
∴

-16-4b+c=0 c=4

，
解得：b=-3，c=4，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²-3x+4．

（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，8+m）．
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m=-2．
∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，
S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO=

1

2

×2×6+

1

2

（6+4）×2-

1

2

×2×4=12．

（3）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=-m，CD=AC=4+m，BD=

2

OC=-

2

m，則D（m，4+m）．
∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，則BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=-

2

m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=

2

BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
綜上所述，存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，1）或（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、圖象面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)．第（3）問(wèn)需要分類(lèi)討論，這是本題的難點(diǎn)．