Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).點(diǎn)在函數(shù)圖象上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求的值;

(2)如圖①，連接， 線段上的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)F'恰好在線段BE上，求點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)如圖②,動(dòng)點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作軸的垂線分別與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn).試問:直線右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn),使得與的面積相等，且線段的長度最小?如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得的值；由，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得的值；

（2）可設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，由、的坐標(biāo)可求得直線的解析式，把坐標(biāo)代入直線解析式可得到關(guān)于t的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可表示出、、的長，作，垂足為，則可求得的長，用可表示出、、的坐標(biāo)，在中，由勾股定理可得到關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)的值，則可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，

解：（1）且軸，

拋物線的對稱軸為直線

即，

，

，

代入：，

解得 (舍去），

.

（2）由（1）可知

則

由待定系數(shù)法可得直線BE的解析式為：

設(shè)由，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

則有：

（3）存在點(diǎn)滿足題意．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，．

作，垂足為，

△，

，

．

點(diǎn)在直線的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

在中， ，

時(shí)，取最小值1．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為．