Question

(2006北京課改，24)已知拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D為線段OA的一個三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；

(3)若一個動點(diǎn)P自OA的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)根據(jù)題意，c=3， 所以解得 所以　拋物線解析式為． (2)依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為(0，1)，(0，2)． 設(shè)直線CD的解析式為y=kx＋b． 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)時，直線CD的解析式為； 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)時，直線CD的解析式為． (3)如圖，由題意，可得．點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸x=3的對稱點(diǎn)為． 連結(jié)． 根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑的長． 所以與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)． 可求得直線的解析式為． 可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，F點(diǎn)坐標(biāo)為． 由勾股定理可求出． 所以點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑(ME＋EF＋FA)的長為．