Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（

 

，

 

）（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△MPA為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PG和OG的長度即可求得P的坐標(biāo)；
（2）△MPA為等腰三角形，則PM=PA或PM=MA或PA=AM即可，分別求x的值，即可解題．

解答：解：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)x秒后，則BN=x，

則PG=

4

3

x，CN=3-x，
∵∠ACB=∠PCN，∠ABC=∠PNC=90°，
∴△CPN∽△CAB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，又CN=3-x，AB=4，BC=3，
∴PN=

4

3

（3-x），
則PG=NG-NP=4-

4

3

（3-x）=

4

3

x，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3-x，

4

3

x）；

（2）要使得△MPA為等腰三角形，
①，AP=PM，使得AG=MG即可，
MG=3-x-x=3-2x，AG=x，解得x=1，
②，AM=AP，則AM=3-x，AP=

5

3

x，解得x=

9

8

，
③，PM=AM，則AM=3-x，PM=

(3-2x)2+( 4 3 x)2

，解得x=

54

43

，
故x=1或

9

8

或

54

43

時(shí)，△MPA為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中列出關(guān)于x的關(guān)系式并求解是解題的關(guān)鍵．