Question

【題目】如圖1，△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交BC于點E（BE＞EC），且BD=2．過點D作DF∥BC，交AB的延長線于點F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若∠BAC=60°，DE=，求圖中陰影部分的面積；

（3）若，DF+BF=8，如圖2，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）9﹣2π；（3）3

【解析】試題分析：（1）連結OD，如圖1，由已知得到∠BAD=∠CAD，得到，再由垂徑定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，則OD⊥DF，于是可得結論；

（2）連結OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如圖1，先證明△OBD為等邊三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=，得到∠BDF=∠DBP=30°，在Rt△DBP中得到PD=，PB=3，在Rt△DEP中利用勾股定理可算出PE=2，由于OP⊥BC，則BP=CP=3，得到CE=1，由△BDE∽△ACE，得到AE的長，再證明△ABE∽△AFD，可得DF=12，最后利用S陰影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）進行計算；

（3）連結CD，如圖2，由可設AB=4x，AC=3x，設BF=y，由得到CD=BD=，由△BFD∽△CDA，得到xy=4，再由△FDB∽△FAD，得到16﹣4y=xy，則16﹣4y=4，然后解方程即可得到BF=3．

試題解析：（1）連結OD，如圖1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF為⊙O的切線；

（2）連結OB，連結OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如圖1，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD為等邊三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易證得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ，∴AE=，∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴，即，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S陰影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）==；

（3）連結CD，如圖2，由可設AB=4x，AC=3x，設BF=y，∵，∴CD=BD=，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴，即，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴，即，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的長為3．