Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．

(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)；

(2)∠DAE與∠C－∠B有何關(guān)系？

Answer 1

【答案】(1) 10°；(2) DAE＝ (∠C－∠B)．

【解析】【試題分析】

(1)因為∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：

∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.因為AE是△ABC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：∠BAE＝∠BAC＝50°.因為∠AEC為△ABE的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)得：∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.因為AD是△ABC的高，所以∠ADE＝90°.根據(jù)直角三角形兩銳角互余得：∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.

(2)根據(jù)角平分線、垂直的性質(zhì)得：

∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－（ ）

又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.

∴∠DAE＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝ (∠C－∠B)．

【試題解析】

(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.

∵AE是△ABC的角平分線，

∴∠BAE＝∠BAC＝50°.

∵∠AEC為△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADE＝90°.

∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.

(2)由(1)知，

∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－（ ）

又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.

∴∠DAE＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝ (∠C－∠B)．