Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，3）和B（2，0），直線AB交y軸于點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在射線AB上（不與點(diǎn)C重合），且△AOC∽△APO，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下求tan∠APD的值．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）由于P、C不重合，若△AOC∽△APO，只有一種情況，即∠AOC與∠APO對(duì)應(yīng)相等，可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出AP的長(zhǎng)；然后根據(jù)直線AC的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P、A的坐標(biāo)表示出AP的長(zhǎng)，聯(lián)立上面得到的AP的值，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得∠PBH=45°；連接BD后發(fā)現(xiàn)∠OBD=45°，由此可證得∠PBD=90°，那么∠APD的正切值即為BD、PB的比，由此得解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，3）和B（2，0），
∴

3=1-b+c 0=4+2b+c

．（2分）
解得 b=-2，c=0．
∴y=x²-2x；                                        （2分）

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

3=-k+b 0=2k+b

．
解得 k=-1，b=2．
∴直線AB的解析式為y=-x+2，（1分）
∴C（0，2）．（1分）
∵點(diǎn)P在射線AB上，且△AOC∽△APO，
∴∠A=∠A，
∴AO²=AC×AP，即10=

2

•AP，
∴AP=5

2

．（1分）
∵點(diǎn)P在直線AB上，
∴設(shè)P（x，2-x），
∴(x+1)2+(2-x-3)2=(5

2

)2，
解得 x=4或-6（舍），
∴P（4，-2）．（1分）

（3）∵y=x²-2x，
∴頂點(diǎn)D（1，-1）．（1分）
連BD，作PH⊥x軸．
∵B（2，0），P（4，-2），
∴∠OBD=45°，∠HBP=45°，
∴∠DBP=90°，（1分）
∴tan∠APD=

BD

BP

=

2

2 2

=

1

2

．                         （2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、直角三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，難度適中．