Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足b=

a2-4 + 4-a2 +16

a+2

．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)M為直線y=mx在第一象限上一點(diǎn)，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如圖3過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx-2k交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)P，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，過(guò)N點(diǎn)的直線y=

k

2

x-

k

2

交AP于點(diǎn)M，給出兩個(gè)結(jié)論：①

PM+PN

NM

的值是不變；②

PM-PN

AM

的值是不變，只有一個(gè)結(jié)論是正確，請(qǐng)你判斷出正確的結(jié)論，并加以證明和求出其值．

Answer 1

分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；
（2）當(dāng)BM⊥BA，且BM=BA時(shí)，過(guò)M作MN⊥y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AM⊥BA，且AM=BA時(shí)，過(guò)M作MN⊥x軸于N，同法求出M的坐標(biāo)；③當(dāng)AM⊥BM，且AM=BM時(shí)，過(guò)M作MN⊥x軸于N，MH⊥y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的坐標(biāo)即可．
（3）設(shè)NM與x軸的交點(diǎn)為H，分別過(guò)M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點(diǎn)，求出H、G的坐標(biāo)，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解答：解：（1）要使b=

a2-4 + 4-a2 +16

a+2

有意義，
必須a²-4≥0，4-a²≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=2k+b 4=b

，
解得：k=-2，b=4，
∴函數(shù)解析式為：y=-2x+4，
答：直線AB的解析式是y=-2x+4．

（2）如圖2，分三種情況：

①如圖1，當(dāng)BM⊥BA，且BM=BA時(shí)，過(guò)M作MN⊥y軸于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中

∠MNB=∠BOA ∠NMB=∠ABO BM=AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐標(biāo)為（4，6 ），
代入y=mx得：m=

3

2

，
②如圖2
當(dāng)AM⊥BA，且AM=BA時(shí)，過(guò)M作MN⊥x軸于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐標(biāo)為（6，2），m=

1

3

，
③如圖4，
當(dāng)AM⊥BM，且AM=BM時(shí)，過(guò)M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，則△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
設(shè)M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是

3

2

或

1

3

或1．

（3）解：如圖3，結(jié)論2是正確的且定值為2，
設(shè)NM與x軸的交點(diǎn)為H，過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)H作HD⊥x軸，HD交MP于D點(diǎn)，連接ND，
由y=

k

2

x-

k

2

與x軸交于H點(diǎn)，
∴H（1，0），
由y=

k

2

x-

k

2

與y=kx-2k交于M點(diǎn)，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A為HG的中點(diǎn)，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因?yàn)镹點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，且在y=

k

2

x-

k

2

上，
∴可得N 的縱坐標(biāo)為-k，同理P的縱坐標(biāo)為-2k，
∴ND平行于x軸且N、D的橫坐標(biāo)分別為-1、1
∴N與D關(guān)于y軸對(duì)稱，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴

PM-PN

AM

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．