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        1. 已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖甲擺放(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9cm,DE=6cm,EF=8cm.如圖乙,△DEF從圖甲的位置出發(fā),以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng),在△DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從△DEF的頂點(diǎn)F出發(fā),以3cm/s的速度沿FD向點(diǎn)D勻速移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),P點(diǎn)停止移動(dòng),△DEF也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接BQ、PQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).解答下列問題:
          (1)設(shè)三角形BQE的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)當(dāng)t為何值時(shí),三角形DPQ為等腰三角形?
          (3)是否存在某一時(shí)刻t,使P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
          精英家教網(wǎng)
          分析:(1)在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10.同理,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,所以△ABC為等腰直角三角形;由DE⊥BC,∠ACB=45°,知△QEC也是等腰直角三角形,所以,QE=CE=t,則BE=BC-CE=9-t;則△BQE的面積y=
          1
          2
          BE•QE(0<t≤
          10
          3
          );
          (2)在Rt△DEF中,DE=6,DF=10,所以,cos∠D=
          3
          5
          ,sin∠D=
          4
          5
          ;在Rt△PDG中,通過(guò)sin∠D求得PG、cos∠D解得DG,
          那么GQ=DQ-DG;在Rt△PGQ中,利用勾股定理,求得PQ2.若△DPQ為等腰三角形時(shí),分三種情況:①若DP=DQ;②若DP=PQ;③當(dāng)DQ=PQ時(shí);
          (3)①當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)B、P、Q在同一條直線上;
          ②當(dāng)B、Q、P在同一直線上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作DE的垂線,垂足為G,則PG∥BE,△DPG∽△DFE;然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得 PG、DG的值,而DQ=6-t,所以求得GQ=DQ-DG的值,根據(jù)平行線的判定定理知GP∥BE,可證△GPQ∽△QBE,所以,
          GP:BE=GQ:EQ,從而解得t=
          1
          2
          ,點(diǎn)B、Q、P在同一直線上.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∠ACB=45°,∠DEF=90°,
          ∴∠EQC=45°.
          ∴EC=EQ=t,
          ∴BE=9-t.
          y=
          1
          2
          BE•EQ=
          1
          2
          (9-t)t
          ,(2分)
          即:y=-
          1
          2
          t2+
          9
          2
          t
          0<t≤
          10
          3
          )(1分)

          (2)①當(dāng)DQ=DP時(shí),∴6-t=10-3t,解得:t=2s.(2分)
          ②當(dāng)PQ=PD時(shí),過(guò)P作PH⊥DQ,交DE于點(diǎn)H,
          則DH=HQ=
          6-t
          2
          ,由HP∥EF,
          DH
          DE
          =
          DP
          DF
          6-t
          2
          6
          =
          10-3t
          10
          ,解得t=
          30
          13
          s(2分)精英家教網(wǎng)
          ③當(dāng)QP=QD時(shí),過(guò)Q作QG⊥DP,交DP于點(diǎn)G,
          則GD=GP=
          10-3t
          2
          ,可得:△DQG∽△DFE,
          DG
          DE
          =
          DQ
          DF
          ,則
          10-3t
          2
          6
          =
          6-t
          10

          解得t=
          14
          9
          s(2分)

          (3)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,
          使點(diǎn)P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上.
          則,過(guò)P作PI⊥BF,交BF于點(diǎn)I,
          ∴PI∥DE,精英家教網(wǎng)
          于是:
          PI
          DE
          =
          FP
          FD
          ,
          PI=
          9
          5
          t
          ,FI=
          12
          5
          t

          QE
          PI
          =
          BE
          BI
          ,則
          t
          9
          5
          t
          =
          9-t
          9-t+8-
          12
          5
          t

          解得:t=
          1
          2
          s.
          答:當(dāng)t=
          1
          2
          s,點(diǎn)P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上.(3分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例.解答(2)題時(shí),需注意分類討論,全面考慮等腰三角形的腰與底的各種情況.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知,把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放,(點(diǎn)C與E點(diǎn)重合),點(diǎn)B、C、E、F始終在同一條直線上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8,BC=6,EF=10,如圖2,△DEF從圖1出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向△ABC勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)P從A出發(fā),沿AB以每秒1個(gè)單位向點(diǎn)B勻速移動(dòng),AC與△DEF的直角邊相交于Q,當(dāng)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí),△DEF同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t(s).解答下列問題:

          (1)△DEF在平移的過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)D在Rt△ABC的邊AC上時(shí),求t的值;
          (2)在移動(dòng)過(guò)程中,是否存在△APQ為等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
          (3)在移動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<t≤5時(shí),連接PE,是否存在△PQE為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•晉江市質(zhì)檢)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng),在△DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí),△DEF停止移動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4.5).解答下列問題:
          (1)填空:CQ=
          t
          t
          ,AQ=
          8-t
          8-t
          (用含t的式子表示);
          (2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P在以AQ為直徑的⊙M上?
          (3)當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),如圖(3),求t的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知,把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放(點(diǎn)C與E重合),點(diǎn)B,C,E,F(xiàn)始終在同一條直線上,∠ACB=∠EDF=45°,AC=8,BC=6,EF=10.如圖2,△DEF從圖1位置出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向△ABC勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),AC與△DEF的直角邊相交于點(diǎn)Q,當(dāng)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí),△DEF與點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t(s).解答下列問題:
          (1)當(dāng)D在AC上時(shí),求t的值;
          (2)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)P,使△APQ為等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
          (3)連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•安溪縣質(zhì)檢)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按圖(a)擺放,點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8厘米,BC=6厘米,EF=9厘米.如圖(b),△DEF從圖(a)的位置出發(fā),以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng),點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),以2厘米/秒的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)移動(dòng)即停止.記DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(秒)(0<t<4.5).求:
          (1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上;
          (2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△ABC相似;
          (3)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P、Q、F在同一直線上.

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