Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D（1，3），且與BC交于點(diǎn)E，設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n．

（1）求k的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）直接寫出不等式-n＞mx的解集；

（3）點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=圖象上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k= 3，E（2，）；（2）0＜x＜1或x＞2；（3）存在；使得以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-）或（，）．

【解析】

（1）將D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式可求得k的值，然后求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；

（2）不等式-n＞mx的解集為反比例函數(shù)圖象位于直線上方部分自變量x的取值范圍；

（3）分為ED為平行四邊形的一邊和DE為平行四邊形的對角線兩種情況列方程求解即可．

解：（1）k=xy=1×3=3，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=．

∵D是AB的中點(diǎn)，D（1，3），

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

∴yE=．

∴E（2，）．

（2）∵不等式-n＞mx的解集為反比例函數(shù)圖象位于直線上方部分自變量x的取值范圍，

∴不等式的解集為0＜x＜1或x＞2．

（3）存在；

∵D（1，3），E（2，），以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

當(dāng)DE是平行四邊形的邊時，則PQ∥DE，且PQ=DE，

∴Q的縱坐標(biāo)為0，

∴P的縱坐標(biāo)為±，

令y=，則=，解得x=2（舍去），

令y=-，則-=，解得x=-2，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-）；

當(dāng)DE是平行四邊形的對角線時，

∵D（1，3），E（2，），

∴DE的中點(diǎn)為（，），

設(shè)P（a，）、Q（x，0），

∴÷2=，=，解得：a=，x=．

∴P（，），

故使得以P、Q、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-）或（，）．