Question

如圖．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P為BC的中點，小明拿著含45°角的透明三角形，使45°角的頂點落在點P，且繞P旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖①：當(dāng)三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP．
（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖②，三角板兩邊分別交BA延長線和邊AC于點EF．
探究1：△BPE與△CFP．還相似嗎？（只需寫結(jié)論）
探究2：連接EF，△BPE與△EFP是否相似？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）找出△BOE與△CFO的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）探究1：△BPE與△CFP還相似，證明思路同（1）；究2：連接EF，△BPE與△EFP相似，根據(jù)有一夾角相等和夾邊的比值相等的兩個三角形相似證明即可．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．

（2）探究1：△BPE與△CFP還相似，
探究2：證明：連接EF，△BPE與△CFP相似，
∵△BPE∽△CFP，
∴

BE

CP

=

PE

FP

，
又∵CP=BP，
∴

BE

BP

=

PE

FP

，
∴

BE

PE

=

BP

FP

，
又∵∠B=∠EPF，
∴△BPE∽△EFP．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動手實踐、自主探究的能力．