Question

如圖1，過(guò)△ABC頂點(diǎn)A作BC邊上的高AD和中線AE，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，規(guī)定λ_A=

DE

BE

．特別地，當(dāng)D、E重合時(shí)，規(guī)定λ_A=0．另外對(duì)λ_B、λ_C也作類似規(guī)定．

（1）①當(dāng)△ABC中，AB=AC時(shí)，則λ_A=

0

；②當(dāng)△ABC中，λ_A=λ_B=0時(shí)，則△ABC的形狀是

等邊三角形

；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=30°，求λ_A和λ_C的值；
（3）如圖3，正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)△ABC的λ_A=

2

；
（4）判斷下列三種說(shuō)法的正誤（正確的打“√”錯(cuò)誤的打“×”）
①若△ABC中λ_A＜1，則△ABC為銳角三角形

×

；
②若△ABC中λ_A=1，則△ABC為直角三角形

√

；
③若△ABC中λ_A＞1，則△ABC為鈍角三角形

√

；
（5）通過(guò)本題解答，同學(xué)們應(yīng)該有這樣的認(rèn)識(shí)：一個(gè)無(wú)論多么陌生、多么綜合的問(wèn)題，其實(shí)都來(lái)自于書(shū)本已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)．因此，我們今后應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)；同時(shí)在解決問(wèn)題時(shí)或者解決問(wèn)題后，應(yīng)該思考該問(wèn)題的本質(zhì)和目的：①鞏固哪些基礎(chǔ)知識(shí)；②培養(yǎng)我們哪些方面能力；③向我們滲透哪些數(shù)學(xué)思想．本題之所以是一道綜合題，就是因?yàn)樯婕暗降闹�識(shí)點(diǎn)多、面廣．下面就請(qǐng)你談?wù)劚绢}中所用到的、已學(xué)過(guò)的性質(zhì)、定理、公理或判定等．（至少列舉兩條）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后根據(jù)λ_A定義與等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得λ_A=0，②根據(jù)λ_A定義與線段垂直平分線的性質(zhì)，即可證得△ABC的形狀是等邊三角形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半與特殊角的三角函數(shù)的值，即可求得答案；
（3）觀察圖形，根據(jù)λ_A的定義，即可求得λ_A的值；
（4）根據(jù)λ_A的定義，即可判定①②③的正確性；
（5）用到的定理：①等腰三角形中三線合一；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等．

解答： 解：（1）①如圖：
∵AB=AC，
∴AD是BC的高，也是BC的中線，
即D與E重合，
∴λ_A=

DE

BE

=0；

②當(dāng)△ABC中，λ_A=0時(shí)，
即DE=0，
∴AD是BC的高，也是BC的中線，
即AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵λ_B=0，
同理：BC=BA，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC的形狀是等邊三角形；

（2）如圖，作BC邊上的中線AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，作AB邊上的中線CF，又AC⊥DC，
∴λ_A=

CD

BD

=1，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=

EF

AF

=

EF

CF

=cos60°=

1

2

；

（3）如圖：λ_A=

DE

BE

=2；

（4）①×，②√，③√．

（5）用到的定理：①等腰三角形中三線合一；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等．
故答案為：（1）0，等邊三角形；（3）2；（4）①×，②√，③√．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題．此題綜合性較強(qiáng)，屬于閱讀性與新定義性題目，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．