Question

已知平面區(qū)域上，坐標x，y滿足|x|+|y|≤1
（1）畫出滿足條件的區(qū)域L₀，并求出面積S；
（2）對區(qū)域L₀作一個內(nèi)切圓M₁，然后在M₁內(nèi)作一個內(nèi)接與此圓與L₀相同形狀的圖形L₁，在L₁內(nèi)繼續(xù)作圓M₂，…經(jīng)過無數(shù)次后，求所有圓的面積的和．
（提示公式：(1)a+(a+d)+(a+2d)+…(a+nd)=

(a+(a+nd))*n

2

；(2)a+aq+aq2+…+aqn=

a-aqn*q

1-q

）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號，作出|x|+|y|≤1的線性規(guī)劃區(qū)域即可得到區(qū)域L₀，然后根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半進行求解即可；
（2）求出M₁、M₂的面積，然后根據(jù)求解規(guī)律，后一個圓得到面積等于前一個圓的面積的

1

4

，然后列式，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可．

解答：解：（1）如圖，|x|+|y|≤1可化為，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四邊形ABCD就是滿足條件的區(qū)域L₀是正方形，
S=

1

2

×AC×BD=

1

2

×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如圖，∵A0=1，
∴⊙M₁的半徑為：1×sin45°=

2

2

，
∴內(nèi)切圓M₁的面積是：π（

2

2

）²=

1

2

π，
同理可得：⊙M₂的半徑為：

2

2

×sin45°=（

2

2

）²，
∴內(nèi)切圓M₂的面積是：π[（

2

2

）²]²=

1

2

π×

1

2

=π（

1

2

）²，
⊙M₃的半徑為：（

2

2

）²×sin45°=（

2

2

）³，
內(nèi)切圓M₃的面積是：π[（

2

2

）³]²=

1

2

π×（

1

2

）²=π（

1

2

）³，
…
以此類推，經(jīng)過n次后，⊙M_n的面積為π（

1

2

）ⁿ，
∴所有圓的面積的和=

1

2

π+π（

1

2

）²+π（

1

2

）³+…+π（

1

2

）ⁿ=

1 2 π[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=π[1-（

1

2

）ⁿ]．
故答案為：（1）2，（2）π[1-（

1

2

）ⁿ]．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與圓的面積的問題，作出圖形，求出后一個圓的半徑等于前一個圓的半徑的

2

2

倍是解題的關(guān)鍵．