Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACB是圓周角，CD平分∠ACB，交⊙O于點D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若AB＝12，AC＝6，求由AB，BD，弧AD圍成的陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)9π+18；(3)DE＝2+6．

【解析】

(1)由∠AOD＝90°，即OD⊥AB，根據(jù)DE∥AB可得OD⊥DE，即可得證；

(2)根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和圖形，即可求得陰影部分的面積；

(3)根據(jù)題意和圖形，利用平行線的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)可以求得DE的長．

(1)如圖，連接OD，

∵AB是直徑，且AB＝10，

∴∠ACB＝90°，AO＝BO＝DO＝5，

∵CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠ACD＝∠ACB＝45°，

∴∠AOD＝90°，即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

(2)∵⊙O的直徑AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，

∴∠ADB＝90°，AD＝BD，

∴∠OBD＝∠ODB＝45°，

∴OB＝OD＝6，

∴由AB，BD，圍成的陰影部分的面積是：＝9π+18；

(3)∵AF⊥DE于點F，則AF＝OD＝6，

∵AB∥DE，∠OAB＝45°，

∴∠ADF＝∠OAB＝45°，

∴DF＝AF＝6，

∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，

∴∠CBA＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵AB∥DE，

∴∠E＝∠CAB＝60°，

∵AF＝6，∠AFE＝90°，

∴EF＝，

∴DE＝EF+DF＝2+6．