Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=5，AB=3，分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF+GH的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O， 過O點(diǎn)作OM⊥AC，過B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，

在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC= = ，
由面積法可知，BNAC=ABBC，
解得BN= ，
∵∠B=90°，
∴GH為⊙O的直徑，點(diǎn)O為過B點(diǎn)的圓的圓心，
∵⊙O與AC相切，
∴OM為⊙O的半徑，
∴BO+OM為直徑，
又∵BO+OM≥BN，
∴當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，
此時(shí)，直徑GH=BN= ，
同理可得：EF的最小值為 ，
∴EF+GH的最小值是 = ．
所以答案是： ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等，以及對切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．