Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分線交BC于D，交AB于E，交CA的延長線于F．求證：AD2＝DEDF．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

利用直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可以推導(dǎo)得出∠DAB＝∠AFD，再結(jié)合∠ADE=∠FDA可得△ADE∽△FDA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出答案．

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠C＝90°，∠EAF=180°-∠BAC=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

又∵BC的垂直平分線交BC于點D，

∴∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BED=90°，

∵∠BED=∠AEF，

∴∠ABC=∠AFE，

∵D為BC中點，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠DAE，

∴∠DAE=∠AFE，

又∵∠ADE=∠FDA，

∴△ADE∽△FDA，

∴AD：FD=DE：AD，

∴AD2＝DEDF．