Question

（2008•畢節(jié)地區(qū)）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF是梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結(jié)論正確的有    ．（填序號之間不用符號，如①②）
①四邊形EHCF為菱形；②∠BCD=60°；③S_△BEH=S_△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知對各個結(jié)論進(jìn)行分析從而得到最后答案．
解答：解：①正確
∵EF=2，BH=AD=1
∴CH=2
∴即四邊形EFCH是平行四邊形
∵CF=2=EF
∴四邊形EHCF為菱形；
②正確，在直角三角形CDH中，CH=2，CD=4，則∠CDH=30°，∴∠BCD=60°；
③正確，因?yàn)锽H=CH，所以S_△BEH=S_△CEH；
④不正確，根據(jù)以上的證明只能得出以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)G，而不切于點(diǎn)F，
因?yàn)镋F=2，而圓的半徑為根號3，
所以以AB為直徑的圓不可能與點(diǎn)F相切．
④不正確，
∵以AB為直徑的圓
∴圓心是E，半徑是AB的一半
作EG⊥CD于G
∴∠ECG=30°
∴CE=2EG
∵在直角三角形BCE中，∠BCE=30°
∴CE=2BE=AB
∴AB=2EG
∴以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F；
故答案為：①②③．
點(diǎn)評：此類題的綜合性較強(qiáng)，要非常熟悉特殊四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和梯形的中位線定理．