Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)．     
（1）求證：四邊形MENF是菱形；
（2）當(dāng)四邊形MENF是正方形時(shí)，求證：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．

Answer 1

分析：（1）證明△ABM≌△DCM，可得BM=CM，然后根據(jù)EN、FN是△BMC的中位線(xiàn)，可得EN=FN=FM=EM，繼而判斷四邊形MENF是菱形；
（2）首先判斷MN是等腰梯形ABCD的高，然后利用直角三角形的斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半，證明結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，

AM=DM ∠A=∠D AB=DC

∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，BC的中點(diǎn)，
∴EN=

1

2

CM，F(xiàn)N=

1

2

BM，ME=

1

2

BM，MF=

1

2

CM，
∴EN=FN=FM=EM，
∴四邊形MENF是菱形．

（2）連結(jié)MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∴MN是梯形ABCD的高，
又∵四邊形MENF是正方形，
∴△BMC為直角三角形，
又∵N是BC的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

BC，
即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵是各知識(shí)點(diǎn)的熟練掌握．