Question

如圖，半圓中，將一塊含的直角三角板的角頂點(diǎn)與圓心重合，角的兩條邊分別與半圓圓弧交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在內(nèi)部），與交于點(diǎn),與交于點(diǎn).

(1)求的度數(shù);
(2)若是的中點(diǎn)，求的值;
(3)若,求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明見解析；(2) ;

試題分析：（1）連接AC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可知,根據(jù)圓周角定理可知，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得到,在直角三角形再根據(jù)直角三角形內(nèi)角和定理可知=；(2)根據(jù)點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，及半徑的性質(zhì)，可以得到，得到角的性質(zhì)可知，所以的到比例線段；（3）結(jié)合前面兩問的結(jié)論，可以首先證明兩個(gè)三角形相似，然后結(jié)合直角三角形的勾股定理可以求得線段長(zhǎng).
試題解析：解 （1）如圖，連接.
 是直徑，
,
,
,
，
（2） 是的中點(diǎn)，是半徑，
,
,
,
即,

即 (或) ；
（3） 連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為,
設(shè)，
則 
在中，,
，
 ,,
∽,
,
即,
在中，由勾股定理，,
即，
即，
解得：（不合題意，舍去），，
.