Question

如圖，已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E，交⊙O于點F，且AE=BE．
（1）求證：

AB

=

AF

；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）要證

AB

=

AF

就要利用相等的圓周角所對的弧相等來證明，所以連接BH，根據(jù)垂徑定理可知弧AB=弧BH．因為AE=BE，利用等腰三角形的性質(zhì)及等量代換就可證明：

AB

=

AF

；
（2）已知BE•EF=32，AD=6，所以可根據(jù)相交弦定理求出AE，EH的長，然后再由已知AE=BE求出BE的長，利用勾股定理即可求出BD的長．

解答：（1）證明：連接BH，
根據(jù)垂徑定理可知弧AB=弧BH，
∴∠BAH=∠BHA．
∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF．
∴∠BHA=∠ABF．
∴

AB

=

AF

．

（2）解：∵BE•EF=32，
∴AE•EH=32．
∵AD=6，
∴AH=12．
∴AE•（12-AE）=32．
解得AE=4或8，
從圖中可知AE=4，DE=2
∵AE=BE，
∴BE=4．
∴BD=

42-22

=2

3

．

點評：本題綜合考查了圓的垂徑定理及等弧所對和圓周角相等的性質(zhì)及相交弦勾股定理的應(yīng)用．